【技术专辑】使用Petrick方法简化含义简化

什么是Petrick的方法?

 

Petrick的方法用于确定给定的主要蕴涵图表中的最小乘积和(SOP)解。Petrick的方法是布尔代数中使用的另一种方法,布尔代数是一种用于复杂电路的简化方法。表1.1中所示的是具有两个最小解决方案的示例。如果在给定函数中变量的数量增加,则主要蕴涵的数量和主要图表的复杂性会急剧增加。在这些类型的案例中,试错可能是找到所有最小解决方案的最佳选择。上一篇文章中提到的方法从图表中找到所有最小解决方案是一种很好的方法,但Petrick的方法有一个更好的系统方法。在尝试执行Petrick的方法之前,所有必要的主要蕴含者; 以及他们所覆盖的minterms需要从主要蕴涵图表中取出。  

 

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表1.1

 

为了充分掌握这一概念,表1.1将用于说明Petrick的方法。首先,需要对表格上的每一行(P 1,  P 2,  P 3)进行标记。将形成逻辑函数P,当所有minterms都被掩盖时,该函数  成立。这允许  P 1  是逻辑变量,如果P 1  行中的主要含义包括在解中,则为真  。 P 2也应该是一个逻辑变量,当P 2中的主要蕴涵时,它是正确的  行包含在解决方案等中。查看第0列,看来该列在行P 1 和  P 2中有X  ; 因此 ,必须选择行  P 1和  P 2 来覆盖最小项0.现在,为了覆盖下一个最小项,最小项1, 必须选择行  P 3 或  P 1 ; 因此,(P 1  +  P 3)必须保持为真。同样,为了覆盖最小的2,(P 2  和  P 4)也必须成立。为了轻松覆盖minterms 5,6和7,表达式(P 3 +  P 5),(P 4  +  P 6)和(P 5  +  P 6)必须保持为真。由于需要覆盖所有的minterms以便应用Petrick的方法,因此下面的函数必须成立:

 

P  =(P 1  +  P 2)(P 1  +  P 3)(P 2  +  P 4)(P 3  +  P 5)(P 4  +  P 6)(P 5  +  P 6)= 1,  这意味着什么是需要选择行  P 1  或  P 2  ,  以及 行  P 1  或  P 3 ,  和 行  P 2  或  P 4 ,等。 

 

接下来,  P  需要完全降低到最小SOP。这是相对容易的,因为没有表达的赞美。乘法后,使用布尔代数规则(X  +  Y)(X  +  Z)=  X  +  YZ,  以及分布律,下面的函数如下:

 

P  =(P 1  +  P 2 P 3)(P 4  +  P 2 P 6)(P 5  +  P 3 P 6)

=(P 1 P 4  +  P 1 P 2 P 6  + P 2 P 3 P 4  +  P 2 P 3 P 6)(P 5  +  P 3 P 6)

=  P 1 P 4 P 5  +  P 1 P 2 P 5 P 6  +  P 2 P 3 P 4 P 5  +  P 2 P 3 P 5 P 6  +  P 1 P 3 P 4 P 6  +  P 1 P 2 P 3 P 6  +  P 2 P 3 P 4 P.6  +  P 2 P 3 P 6

 

在此之后,使用  X  +  XY  =  X 从逻辑函数P中删除冗余项  ,产生以下函数:

 

P  =  P 1 P 4 P 5  + P 1 P 2 P 5 P 6  +  P 2 P 3 P 4 P 5  +  P 1 P 3 P 4 P 6  +  P 2 P 3 P 6

 

现在因为  P  必须保持为真(或  P  = 1)以涵盖每个最小项,所以该函数可以描述如下。为了完全覆盖每个小项, 必须选择行  P 1  和  P 4  和  P 5,或行  P 1  和  P 2  以及  P 5  和  P 6,或行  P 2  和  P 3  和  P 6。即使总共有五种解决方案可以获得最少数量的主要蕴涵点,但所选择的唯一两种解决方案是行 P 1,  P 4和  P 5 或行  P 2,  P 3和  P 6。选择第一组提供  F  =  a'b'   +  bc'  +  ac,第二组选择  F  =  a'c'  +  b'c  +  ab,它们被写为两个最小SOP解。 

 

Petrick的方法总结如下:

 

1.首先减少主要蕴含图表; 这可以通过删除任何基本的主要蕴涵行和相应的列来完成。 

 

2.在主要蕴涵图表中减少的每一行都需要标记,  P 1,  P 2,  P 3等。

 

3.形成逻辑函数P,当覆盖所有 列时,该逻辑函数P成立。该函数由和项的乘积组成,其中每个和项具有形式(P i0  +  P i1  + ...),其中  P i0,  P i1  ...表示覆盖i 列的行。

 

4.逻辑函数  P  需要通过向外相乘并应用布尔代数规则X  +  XY  = X 来减少到最小乘积之和。 

 

5.结果函数中的每个项代表一个解决方案,或一组覆盖主要蕴含图表中所有minterms的行。要确定最小解是什么,选择包含最少数量变量的术语。这些术语中的每一个都代表了具有最少数量的主要含义的解决方案。

 

6.对于找到的每个术语,计算每个主要蕴含者的文字数量并记录。选择对应于最小文字总数的术语,然后相应地写出相应的主要含义总和。 

 

这种方法对于相当大的图表来说非常繁琐,但另一方面,它很容易在个人计算机上实现。 

 

用Quine-McCluskey方法简化

 

当呈现未完全指定的函数时,如果想要获得函数的最小形式,则必须将值正确地分配给无关项。下面,Quine-McCluskey方法将被修改并用于在存在任何无关项时获得最小解。在此过程中,无关紧要的条款,如果存在,将被视为需要minterms。通过这样做,两者可以结合使用额外的minterms来删除文字(如果可用的话)。可以从不关心产生额外的主要蕴涵,这是可以的,因为在该过程的下一步骤中将移除额外的主要蕴涵者。虽然形成了一个主要的蕴含图表,但不关心的  不是 写在顶部。这样做是为了确保在求解图表时所有必需的minterms完全由所选择的主要蕴涵者覆盖。尽管如此, 除非它们已经在形成选定的主要含义的过程中使用,否则最终解决方案中不包括无关紧要的术语。示出了简化未完全指定的功能的示例,以更好地理解刚刚解释的内容。 

 

F(A ,B ,C,d )= Σ m(2 ,3 ,7 ,9 ,11 ,13 )+ Σ d(1 ,10 ,15 )

(d及其术语的总和是无关紧要的术语)

 

现在找到主要的蕴涵:

 

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在形成以下图表时,将删除具有无关项的列:

 

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*表示必不可少的主要含义

 

F  =  B'C  +  CD  +  AD

 

注意到即使给出的原始函数未完全指定,F的最终表达式也   被简化,并且为A,  B,  C 和  D的所有可能值定义  ,因此完全指定。通过这种方法,值已经自动分配给 最初提供的F的真值表中的无关紧要  。通过将F(如上所示)的最终表达式中的每个项替换  为其相应的minterms和,表达式可以写成如下:

 

F=(m2+m3+m10  +  m 11)+(m 3  +  m 7  +  m 11  +  m 15)+(m 9  +  m 11  +  m 13  +  m 15)

 

当 m10 和  m 15  出现在这个表达式中而  m 1  没有出现时,这暗示了最初为F给出的真值表中的无关项   表示如下:

 

对于  ABCD  = 0001; F  = 0; 对于1010,  F = 1; 对于1111,  F  =  1

 

接下来

 

截至目前,您应该了解Petrick的方法是什么,如何应用它,以及如何使用Quine-McCluskey方法简化未完成的指定函数。Quine-McCluskey方法可与数字计算机一起使用,以简化多达15个或更多变量的功能。接下来,将使用地图输入变量的方法来找到给定函数的最小SOP表达式。 

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发布日期:2019年03月04日  所属分类:参考设计