摘 要：利用schauder不动点定理给出了两类四阶非线性常微分方程问题存在解的充分条件。
关键词：四阶非线性常微分方程；两点边值问题；存在性
1提出问题
由于梁变形是通过四阶微分方程的两点边值问题来描述的，因此近年来很多作者［１～５］。对四阶微分方程的两点边值问题解的存在性与唯一性进行了研究，得到了一系列结果。
本文主要研究，四阶非线性常微分方程
的两点边值问题解的存在性，其中
本文在主要结果中，利用schauder不动点定理，分别给出四阶非线性常微分方程(1)式分别具有边界条件(2)式，(3)式的边值问题bvp(1)(2)，bvp(1)(3)存在解的充分条件，其中关于bvp(1)(2)的解的存在性结果推广和改进了文献［２］的相应结果，而关于bvp(1)(3)，据作者所知，至今尚无人讨论过。
2主要结果
讨论bvp(1)(2)，bvp(1)(3)的解的存在性，首先给出有关下述边值问题
的一些熟知的结果。
记ｅ１＝｛v｜v(x)∈c１［0,1］,v满足(5)｝，对任意v∈ｅ１，定义范数
则e１是banach空间。
其中ε(p)是正的趋于零的(p→+∞)，p２ε(p)随p单调增加；
则存在常数m１，使得v′(x)m１，x∈［0，1］。
定理2.1假设存在正数m和r，满足
则bvp(1)(2)存在解。
从而，bvp(1)(2)可化成与其等价的边值问题
存在唯一解。事实上，若对于某个u(x)∈br，bvp(9)(10)存在两个解v１(x)，v２(x)，则v２（x)-v１(x)为如下边值问题
的解。其中，
的解，则由引理2.2-(1)及条件(ⅰ)，(ⅱ)有
则由(11)易知，t为有界凸闭集br到其自身的映射，而且是连续映射。事实上，设un(x)，u０(x)∈ｂr上一致收敛于u０(x)，往证，上一致收敛于知，存在r２＞0，使得
同理可证：的任意一致收敛的子序列均一致收敛于v0(x)，于是由ascoli定理的注上一致收敛于v０(x)，故t为连续映射。更进一步，由(11)，(12)以及ascoli定理不难看出t为全连续算子，于是由schauder不动点定理，映射t存在不动点，显见，此不动点便是bvp(7)(8)的解，进而，
注1在定理2.1中，若f(x,y,z,w)=f(x,y,z),α０＞0,α１＞0，则即可得到文［２］中的定理3.2。
例2.1在［０，１］×ｒ３上定义函数
存在解，但用文［２］中的定理3.2，无法断定bvp（14）存在解。
定理2.2假设存在正数m和r，满足
从而，bvp(1)(3)可化成与其等价的如下边值问题
存在唯一解v=v(x)，并且满足
则仿定理2.1的证明，不难证明t为有界凸闭集br到其自身的连续映射，更进一步，由(17)及ascoli定理易知，t为全连续映射，于是由schauder不动点定理，映射t存在不动点便是bvp(1)(3)的解，即bvp(1)(3)存在解。
例2.2在［０，１］×ｒ３上定义函数
参考文献
［1］r.a.usmani, a uniqueness theorems for a boundary value problem［j］. proc. amer. math. soc. 77(3)(1979),329-335.
［2］a.r.aftabizadeh, existence and uniqueness theorems for fouthorder boundary value problems［j］. j.math. anal. appl. 116(1986),415-426.
［3］yisong yang, fourthorder twopoint boundary value problems［j］. proc.amer. math. soc. 104(1988),175-180.
［4］c.p.gupta, existence and uniqueness theorems for the bending of an elastic beam equation［j］. appl.anal.,26(1988),289-304.
［5］禹海兰，裴明鹤.四阶非线性微分方程两点边值问题解的存在性和唯一性［j］.数学研究与评论，21(1)(2001)，44-46.
［6］李正元，钱敏.向量场的旋转度理论及其应用［m］.北京大学出版社，1982.
