摘要：介绍了利用频域方法对一种常用的开关电容滤波器的传输特性进行理论分析，得出了其等效噪声带宽，并给出了仿真结果。所得结果与参考文献中时域方法分析的结果相一致，但是分析过程要简洁得多，而且更容易理解。
关键词：开关电容 滤波器 频域
随着集成电路技术的发展和工艺的改进，高质量的mos电子开关和电容可以集成在体积很小的芯片上，从而使开关电容滤波器（scf）得到广泛应用。scf中既有模拟电路，又有开关电路，其分析和综合方法往往比较复杂，已见报道的有阻抗变换法、双线性z变换法、时域分析方法等。本文针对一种常用的scf电容，利用频域方法分析其传输特性，所得结果与时域方法分析的结果相一致。
1 开关电容滤波器频域分析
图1（a）所示是一种常用的开关电容滤波电路，它既有滤波作用，又有放大作用。图中的k1和k2是由脉冲信号控制的双刀双掷同步电子开关，其控制信号p(t)是频率为f0的方波，如图1（b）所示。当p(t)为高电平时，电子开关接到a（如实线所示），当p(t)为低电平时，电子开关接到b（如虚线所示）。
考虑到运算放大器输入负端为虚地，流经反馈支路的电流i(t)(设定方向如图中箭头所示)与输入电压vi(t)之间的关系为：
vi(t)=-r1i(t) (1)
式（1）的傅立叶变换式为：
vi(ω)=-r1i(ω) (2)
式（2）中的vi(ω)和i（ω）分别表示vi(t)和i(t)的频谱。
对于反馈支路，由于电子开关的作用，电流i(t)通过电子开关周期性地变换方向给rc并联电路交替充电，这相当于对i(t)周期性地乘以+1和-1，这样就可以用
i'(t)=p(t)×i(t) (3)
来表示流经rc积分电路的电流。
设方波p(t)的周期为t0，角频率为ω0=2π/t0，如图1（b）所示。这样的周期函数可以展开为如下指数形式的傅立叶级数：
将（4）式代入（3）式，得：
对（5）式进行傅立叶变换，并利用f[x(t)exp(jω1t)]=x(ω-ω1)的频移特性，得：
式中，i'(ω)为i'(t)的频谱，i（ω）为i(t)的频谱。根据傅立叶变换的特性，对于实信号i(t)，其频谱i（ω）的实部为偶函数，虚部为奇函数，所以式（6）可以改写为：
可见，电子开关的作用是使i'(t)的频谱移到了ω0的各奇次谐波处，相对幅度分别为1，-1/3，1/5，-1/7…。
对于角频率为ω的信号，r和c相关联的复阻抗为：
由式（7）可知，由于电子开关的作用，流经z的电流i'(ω)是由很多不同的频率分量组合而成的，对于其中的每个分量，rc并联电路所呈现的复阻抗也有所不同。针对其中的某个频谱分量i（ω-（2n-1）ω0）,rc并联电路的复阻抗为：
所以，电路的输出电压vo(t)的频谱v0（ω）可以看成是i‘（ω）的各分量与zn相乘得到的电压分量的频谱组合而成，即：
式中的“*”表示卷积。
结合式（2），可得到图1（a）电路的频率响应函数为：
2 等效噪声带宽
由式（13）可知，图1（a）所示电路是一个梳状滤波器，各通带位于控制脉冲方波基频f0及其奇次谐波处。rc越大，则各梳齿通带的频带越窄，抑制噪声的能力越强。
衡量电路抑制噪声能力的一个重要指标是等效噪声带宽。根据参考文献，电路系统的等效噪声带宽为：
式中，a0表示最大电压增益，对于式（13）所表示的幅频响应，|a0|=4r/（πr1）。
将式（13）代入式（14）得：
可见，增加开关电容滤波器的时间常数rc，就可以减小其等效噪声带宽，提高其抑制噪声的能力。
3 仿真结果
对图1（a）所示的电路，取r=r1=10kω、c=2μf，电子开关采用cd4066，控制方波频率为f0=100hz时，根据式（13）计算出的幅频响应曲线（实线）和利用multisim的仿真结果（虚线）如图2所示。可以看出，两者符号得较好，验证了文中理论推导的正确性。
本文利用频域方法对一种常用的开关电容滤波器电路进行了分析，计算出了其等效噪声带宽，并进行了仿真研究。所得结果与时域方法分析的结果一致，但是分析推导的过程要比参考文献中的相应过程简洁得多。
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