1 数模转换器(d/a)的数学模型[1]
设数字化信号处理系统的原始模拟输入信号为xa(t),经过冲激采样,得到理想采样信号
式(1—1)中t为采样的时间间隔。
(ω)是xa(ω)的周期重复,重复周期为采样角频率ωs。若模拟信号xa(t)=sinω0t,采样信号及其频谱如图1—1a、图1—1 b所示。图中,信号频率为0.1ωs,其它对称于ωs、2ωs、3ωs等处的频率成分为基带信号的镜象和谐波,幅值和基带信号相同。如将采样信号恢复为模拟信号,仅需滤除这些镜象和谐波,保留基带信号即可。
在实际系统中,理想采样信号通过a/d转换器在t=nt时刻量化为数据序列x(n),经d/a转换器输出,波形如图1—2a所示。图中波形可以看作是一系列矩形脉冲的顺序排列组合,每一个矩形脉冲是d/a转换器对输入数据的冲激响应,故d/a转换器的单位冲激响应为一高度为1,宽度为t的矩形脉冲,表示为
式(1-3)中,u(t-t)分别为t=0和t=t时刻的单位阶跃函数。由此,d/a转换器的输出波形可由下式表达
d/a转换器的频率响应函数h(jω)为式(1—3)的傅里叶变换,即
当以时间间隔t向d/a转换器传递数据序列x(n)时,可以认为式(1—1)所示的理想采样信号作用在d/a转换器的输入端,其输出信号的频谱幅值为
和h(ω)的图形分别如图1—2b中实线和虚线所示。与图1—1b中采样信号的频谱对比,d/a转换器相当于一种非理想的低通滤波器。虽然不同程度地滤除了高频端的谐波分量,但在的有效频带内,滤波器的增益随着频率的增高而下降,造成信号的频谱失真。
2 d/a转换过程中频谱失真的校正方法
针对d/a转换器的频响特性,校正网络在0~频带内应是一个高频提升网络。其频响函数直接由式(1—6)导出
式(2—1)中略去了h(ω)的系数t。文中利用fir型数字滤波器实现式(2—1)的校正特性。
fir型数字滤波器的频率采样设计法可以实现任意的频率响应特性。其基本的设计思想是对理想频响特性hd(ω)进行频率取样,然后对取样值进行离散频率、离散时间的傅里叶反变换,获得滤波器的单位冲激响应h(n)。而滤波器计算公式为h(n)与输入序列x(n)的离散卷积运算。
对于式(2—1)所示的理想特性,滤波器的单位冲激响应为
滤波器的输出公式为
将单位冲激响应h(n)进行一次离散时间、连续频率的傅里叶正变换,就得到连续频率变量的滤波器频响函数
取m=20,由式(2—3)计算滤波器的冲激响应h(n)如图2-1a所示。由式(2-6)计算0~范围内的滤波器频响特性如图2—1b所示,其中虚线为d/a转换器的频响特性。将式(2—6)与式(1—6)相乘,得校正后0~3ωs范围内滤波器和d/a转换器的总频响曲线,如图2—1c所示,其通带波动不超过1‰。
为检验实际校正的结果,设模拟输入信号为双频信号
分别为1hz和10hz。取采样频率为25hz,令采样并量化的序列x(n)经式(2—4)校正运算后再由d/a转换器输出,则恢复的波形频谱如图2—1d所示。由图2—1可见,在0的频率范围内,频谱已得到精确的校正,原始信号两个频率成分在经过a/d和d/a转换后能够保持精确的相等。
3 结束语
d/a转换器是一个数字模拟混合器件。但在分析中,将以相等时间间隔锁定到d/a转换器的数据序列看作是理想采样信号,从而导出了d/a转换器的幅频特性式(1—6)。说明了d/a转换器可以看作是一种特殊的模拟低通滤波器。又根据式(1—6),直接写出校正网络理想化的传递特性式(2—1),由此利用频率采样法设计fir校正滤波器,具有理想的频谱校正效果。 中国电子市场网 曹涵 推荐