混合H2/H∞控制的典型系统及其反馈控制器设计

摘 要:本文给出了混合h2/h∞控制的完整信息、完整控制、干扰顺馈、输出估计这四种典型情况的描述,在二次稳定意义上的混合h2/h∞性能指标下,讨论了这四种典型情况的混合h2/h∞线性反馈控制器设计,给出了充分必要条件。这四种典型情况的最优混合h2/h∞线性反馈控制器设计,归结为解一个带有参数的riccati方程,且仅解一个riccati方程。该riccati方程随参数变化,包含了单纯的h2和h∞设计,可看作是h2、h∞和混合h2/h∞的统一表达式。最后通过一个简单的例子,说明了本文的方法。

关键词:鲁棒控制 性能指标 不确定性 h2/h∞控制

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1 引言

混合h2/h∞控制结合了h2控制和h∞控制的优点,引起了广泛的关注[1][2][3][4][6]。混合h2/h∞控制方法通过寻找一个辅助代价函数,该辅助代价函数是系统h2范数的一个上界。通过对辅助代价函数进行优化,来得到问题的解。这些文章研究的对象或者h2和h∞评价指标相同,或者干扰输入阵相同,有一定的局限性。另外,这些文章提供的方法非常复杂,求解控制规律需要解耦合的riccati方程。目前求解耦合riccati方程问题,还没有特别有效的方法。

系统鲁棒稳定的h2范数求解问题,可等价地转化为一种特定的鲁棒二次稳定问题。通过鲁棒二次稳定问题的解,求出系统h2鲁棒性能指标的上确界。本文根据这样的h2鲁棒性能指标,研究几种典型的混合h2/h∞线性反馈控制器设计问题。本文首先对讨论的问题进行简单的描述,给出四种典型问题的数学描述及相应的条件,然后给出本文的主要结论。在第三节,证明本文的主要结论,最后通过一个简单的例子,说明本文的方法。

2 问题描述

我们考虑图1所示的系统,g为已知的线性、定常、有限维系统模型。δ为考虑系统建模过程中的线性化误差、低阶近似等不确定性及外界干扰造成的实际系统与系统模型g之间的误差。δ是系统的未知部分,可能是非线性、时变的。k是控制器。为研究方便,我们假定系统模型如下:

其中,x∈rn为状态变量;w1∈rm为干扰系统的输出;z1∈rp为干扰系统的输入;w0∈rl为外界干扰输入,是有单位强度的零均值正态白噪声;z0∈rq是控制输出;y∈rr为观测量;u∈rs为控制输入。a、b0、b1、b2、c0、c1、c2、d02、d12、d20、d21是相应维数的常数矩阵。

所谓混合h2/h∞的鲁棒控制器设计问题,主要是在图1系统的有界扰动‖δ‖∞≤γ-1时,设计控制器,使系统鲁棒稳定,并使控制输出z0的h2范数最小。本文将针对如下几个特殊问题,进行研究。

定义1:完整信息,fi(full information)问题

系统描述如右式。在这个问题中,所有状态和外界干扰都可以得到。本文仅考虑状态反馈,控制器并未用到干扰信号。另外系统满足如下假定:

定义2:完整控制,fc(full control)问题

系统描述如右式。在这个问题中,控制信号可以直接施加到所有状态变量和控制输出。同样,本文也仅考虑对状态变量进行控制。系统满足如下假定:

定义3:干扰顺馈,df(disturbance feedforward)问题

系统描述如右式。在这个问题中,我们假定干扰信号w0、w1通过同样的途径作用到系统中,即b0=b1、d20=d21=i。这个问题考虑的系统描述与[1]中研究问题的系统描述相似。另外假定:

ⅰ) (a,c0)及((a,c1)可检测,a-b1c2是稳定的;

ⅱ) (a,b2)可稳定;

定义4:输出估计,oe(output estimation)问题

在这个问题中,我们假定针对h2和h∞性能的控制输出信号z0、z1相同,即c0=c1、d02=d12=i。这个问题考虑的系统描述与[2]中研究问题的系统描述相似。另外假定:

ⅰ) (a,b0)及((a,b1)可稳定,a-b2c1是稳定的;

ⅱ) (a,c2)可检测;

上述四种问题与h2和h∞控制中的相应问题有明显的相似点,各问题的假定条件也相同。因此,上述四种问题在h2/h∞控制中的重要性也与相似问题在h2和h∞控制中的重要性相同。另外,上述问题中,很明显fc、oe问题是fi、df问题的对偶问题。

3 主要结论

对含有不确定性δ的系统,直接求解其z0的h2范数是一个非常困难的任务。若系统鲁棒稳定,则其z0的h2范数有上界,因此在混合h2/h∞问题中,常用这一上界来分析与综合系统。对此假定系统描述为

引理1:假定系统如(2)式所示,若对任意满足‖δ‖∞≤1/γ的δ,对系统任意解的轨迹x(t),存在对称正定阵p,使得

证明:取lyapunov函数为xtpx,按文献[2]定理1的证法,就可得到本引理。

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发布日期:2019年07月02日  所属分类:参考设计