摘 要：基于平面波传播的物理性质，提出一种fdtd改进方法——在研究稳态问题时，为保证数字波前与入射方向垂直，网格划分不能是固定的，其长度之比应随入射方向变化。研究了改进方法对数值色散的影响，并与传统方法作了比较。在三维yee网格中对平面波的模拟结果表明，改进方法的收敛性能大为提高，对远场散射的误差影响小。
关键词：fdtd方法，网格长度，数值色散，远场散射
effects of gridding length on fdtd calculation
li jun, wu zhenbo, wu zhe
(beijing university of aeronautics & astronautics, beijing 100083)
abstract:an improved fdtd method is presented in the paper based on the physics characteristic of plane wave propagation. spatial increments can not be fixed and should vary with the change of the angle of incidence, which can ensure that numerical wave front is perpendicular to the direction of incidence. the effects of the improved method on numerical dispersion are studied and comparisons are made to the conventional fdtd method. the simulation results of plane wave in three-dimensional yee mesh show the convergence performance is increased and the new method has less influence on the calculation errors of farfield scattering.
key words:fdtd method，gridding length，numerical dispersion，farfield scattering
1 引言
时域有限差分方法是一种求解电磁问题的数值技术［1～3］。在对fdtd算法的误差研究中，其来源于以下几个方面：差分精度误差，如采用不同的差分格式时，4阶差分式要比2阶差分式精度高［4］；截断边界造成的反射误差［5］；相速变慢导致的数值色散误差［6］；模拟散射体曲面时，网格划分造成的阶梯状表面产生的误差［3］；相位分辨率对远场积分造成的误差［2］；加载波源引起的误差；数值运算带来的截断误差等。
但是，上述讨论通常是基于传统fdtd方法在δx=δy=δz情况下进行的，并且网格长度如何划分与入射方向无关。本文则认为当入射方向发生变化时，网格划分应随之变化，其三维长度之间的比例关系亦是影响数值色散误差的一个重要因素。
2 网格长度与入射方向的关系
在三维空间内定义单位体积1m3内网格单元的数目为网格密度（无量纲）：
ρ=(δxδyδz)-1(1)
在网格密度一致的前提下，设改进方法的网格长度为δx′，δy′,δz′。网格长度与入射方向之间的比例式是基于平面波传播的物理特征推导出来的，它从几何关系上保证了各场点均分布在与入射方向相垂直的波前上。为简单起见首先从二维te问题入手，网格划分及电场、磁场布置方式如图1所示。单位入射矢量为ri=(rix,riy)。图1(a)中相互平行的斜线均与矢量ri垂直，斜线分两类：虚线表示电场波前所在位置，实线表示磁场波前所在位置。
假设均匀平面波在二维空间内的传播是理想的。计算开始时，电场、磁场各分量的初值均为零。
迭代开始后的第一个时间步，波推进到n=1标记的斜线处，位于此斜线上的电场开始有值，半个时间步后，波推进到n=1.5标记的斜线处，位于此斜线上的磁场开始有值。依次类推，电磁场逐渐布满整个总场区。在图1(b)中，d表示两个相邻电场波前之间的距离。为保证入射方向与波前（即网格对角线）垂直，则网格长度δx′,δy′应满足如下关系：
取绝对值是考虑到入射矢量的分量有正负的变化，从而有比例关系：
比例关系式导出后，如何确定网格的三维长度呢？由网格密度一致有：
改进方法时间步长δt的选取同传统方法一样，必须满足数值稳定条件：
其中δt0为临界稳定值。
3 时间步长比与数值色散的关系
首先定义时间步长比为：
下面将研究p与数值色散的关系，从而确定δt的最佳取值范围。
在三维网格中，关于计算网格空间波数kp的超越方程为：
式中k0是自由空间的波数。通过u的变化可以了解数值色散误差的情况，该比值越接近于1，则数值色散误差越小。
于改进方法和传统方法，均由（8）~（10）式得到其p-u曲线，p从60%到99%以1%的增幅变化，见图2。本文同时还计算了传统方法网格长度为两种情况。
由图2可见, 传统方法随着网格尺度的细化，数值色散误差也随之减小；而且p越大，数值色散误差越小。所以，在选择δt时，越接近临界值δt0，即p越接近于1对计算越有利。
